梅森素数与完全数

引入梅森素数“对于整数𝑎≥2,𝑛≥2， 若𝑎𝑛−1 是素数，则𝑎=2,𝑛 为素数。”注意反之不一定成立。注意到，几何级数求和公式𝑎𝑛−1=(𝑎−1)(𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2+…+𝑎+1)若a>2，则𝑎−1>1,𝑎−1|(𝑎𝑛−1)，与𝑎𝑛−1是素数冲突。若n为合数，假设𝑛=𝑚𝑘，由上式，𝑎𝑛−1=(𝑎𝑚)𝑘−1=((𝑎𝑚)−1)((𝑎𝑚)𝑘−1+…+𝑎𝑚+1)所以𝑎𝑚−1>1,𝑎𝑚−1|(𝑎𝑛−1)，冲突。得证。“对于整数𝑎≥2,𝑛≥2， 若𝑎𝑛+1 是素数，则𝑛 为2的幂次。”证明类似，用到𝑎𝑛+1的公式。梅森素数我们将形容如𝑎𝑝−1的素数称为梅森素数。•有无穷多个梅森素数吗？现在仍不知道什么是完全数“真因数之和等于他本身。”比如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14欧几里得完全数公式“如果2𝑝−1是素数 ， 则2𝑝−1(2𝑝−1)是完全数”𝜎函数定义𝜎(𝑛)=𝑛的所有因数之和（包括1和𝑛）性质•如果p是素数，𝑘≥1，则𝜎(𝑝𝑘)=∑𝑛𝑖=0𝑝𝑖=𝑝𝑘+1−1𝑝−1•如果gcd(𝑚,𝑛)=1，则𝜎(𝑚𝑛)=𝜎(𝑛)𝜎(𝑚)证明瞪眼法欧拉完全数定理如果n是偶完全数，则n形如𝑛=2𝑝−1(2𝑝−1)，其中 2𝑝−1是梅森素数。证明将偶数中的2都分解出来，则𝑛=2𝑘𝑚，其中𝑘≥1且m是奇数。则𝜎(𝑛)=𝜎(2𝑘𝑚)=𝜎(2𝑘)𝜎(𝑚)=(2𝑘+1−1)𝜎(𝑚)又n为完全数，则𝜎(𝑛)=2𝑛=2𝑘+1𝑚。所以，2𝑘+1𝑚=(2𝑘+1−1)𝜎(𝑚)即2𝑘+1|(2𝑘+1−1)𝜎(𝑚)， 即2𝑘+1|𝜎(𝑚)。 也就是说存在整倍数c，使得𝜎(𝑚)=2𝑘+1𝑐。即2{𝑘+1}𝑚=(2{𝑘+1}−1)\𝜎(𝑚)=(2{𝑘+1}−1)2{𝑘+1}𝑐(1)即𝑚=(2𝑘+1−1)𝑐且𝜎(𝑚)=2𝑘+1𝑐(2)下面，我们来证明c=1.反证法，先假设c>1。则m至少有三个不同的因数1,𝑐,𝑚。𝜎(𝑚)≥1+𝑐+𝑚=1+𝑐+(2𝑘+1−1)𝑐=1+2𝑘+1𝑐(3)又由(1)得，2𝑘+1𝑐≥1+2𝑘+1𝑐(4)显然，这是荒谬的。故假设不成立，c因该等于1 。 这样，我们得知𝑚=(2𝑘+1−1)，且𝜎(𝑚)=2𝑘+1=1+𝑚(5)后半部分说明m为质数（因数只有1，m）。 所以，如果n为偶完全数，则𝑛=2𝑘(2𝑘+1−1)，其中2𝑘+1−1是素数。(6)。再由梅森素数的定义，原定理得证。奇完全数存在吗？现在不知。定理设 𝑝 和 𝑞 是奇素数。若 𝑝 整除 𝑀𝑞 ，则 𝑝𝑒.¬1(mod𝑝) 且 𝑝≠±1(mod8)。证明Pollard’s p - 1 algorithm