Jul 8, 2022 卡特兰数 以下搬运自wikipedia卡特兰数𝐶𝑛=1𝑛+1(2𝑛𝑛)=(2𝑛)!(𝑛+1)!𝑛!,𝑛=1,2,3,…另一种表示形式𝐶𝑛=(2𝑛𝑛)−(2𝑛𝑛+1)所以，Cn是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。递推关系𝐶0=1𝐶𝑛+1=∑𝑛𝑖=0𝐶𝑖𝐶𝑛−𝑖𝐶0=1𝐶𝑛+1=2(2𝑛+1)𝑛+1𝐶𝑛卡塔兰数的渐近增长𝐶𝑛∼4𝑛𝑛3/2√𝜋所有的奇卡塔兰数𝐶𝑛都满足𝑛=2𝑘−1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。emm𝐶𝑛=∫40𝑥𝑛12𝜋√4𝑥−1母函数𝑀(𝑥)=∑𝑛≥0𝐶𝑛𝑋𝑛=1+∑𝑛≥1∑𝑛−1𝑖=0𝐶𝑖𝑥𝑖𝐶𝑛−𝑖−1𝑥𝑛−𝑖−1𝑥=1+𝑥∑𝑖≥0𝐶𝑖𝑥𝑖∑𝑛≥0𝐶𝑛𝑥𝑛=1+𝑥𝑀2(𝑥)𝑀(𝑥)=1+𝑥𝑀(𝑥)2𝑀(𝑥)=21+√1−4𝑥=1−√1−4𝑥2𝑥生成式的另一个解可以用M(0)特判掉。广义二项式定理二项式定理: (𝑥+𝑦)𝑛=∑𝑛𝑘=0((𝑛𝑘)𝑥𝑛−𝑘𝑦𝑘), 其中(𝑛𝑘)是组合数.当𝑛不是正整数时, 𝑘无法正好求和到𝑛, 因此将一直求和至正无穷, 这样形式上就得到了广义二项式定理: (𝑥+𝑦)𝛼=∑∞𝑘=0(𝛼𝑘)𝑥𝛼−𝑘𝑦𝑘, 其中(𝛼𝑘)=𝛼(𝛼−1)...(𝛼−𝑘+1)𝑘!=(𝛼)𝑘𝑘!是形式上的组合数.展开形式先展开√1−4𝑥,(1−4𝑥)12=∑𝑛≥0(12𝑛)(−4𝑥)𝑛=1+∑𝑛≥112𝑛𝑛!(−4𝑥)𝑛其中，(12)𝑛=12−12−32...−(2𝑛−3)2=(−1)𝑛−1(2𝑛−3)!!2𝑛=(−1)𝑛−1(2𝑛−2)!2𝑛(2𝑛−2)!!=(−1)𝑛−1(2𝑛−2)!22𝑛−1(𝑛−1)!则(1−4𝑥)12=1+∑𝑛≥1(−1)𝑛−1(2𝑛−2)!22𝑛−1(𝑛−1)!𝑛!(−4𝑥)𝑛=1−∑𝑛≥1(2𝑛−2)!(𝑛−1)!𝑛!2𝑥𝑛=1−∑𝑛≥1(2𝑛−1𝑛)12𝑛−12𝑥𝑛带回𝑀(𝑥)=1−√1−4𝑥2𝑥=12𝑥∑𝑛≥1(2𝑛−1𝑛)12𝑛−12𝑥𝑛=∑𝑛≥1(2𝑛−1𝑛)12𝑛−1𝑥𝑛−1=∑𝑛≥0(2𝑛+1𝑛+1)12𝑛+1𝑥𝑛=∑𝑛≥0(2𝑛𝑛)1𝑛+1𝑥𝑛即可得到通项公式应用•Cn表示长度2n的dyck word[7]的个数。Dyck词是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。•将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：•Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。•Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树的方案数。证明： 令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有(2𝑛𝑛)个，下面考虑不满足要求的数目。考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。从而𝐶𝑛=(2𝑛𝑛)−(2𝑛𝑛+1)=1𝑛+1(2𝑛𝑛)。证毕。•Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。•Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。•Cn表示对{1, …, n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, …, n),其中S（w）递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S 为所有含一个元素的数列的单位元。•Cn表示集合{1, …, n}的不交叉划分的个数。那么, Cn永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, …, 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明：在 魏格纳半圆分布定律中度数大于2的情形下，所有 自由的 累积量s 为零。 该定律在自由概率论和随机矩阵理论中非常重要。•Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。•Cn表示表为2×n的矩阵的标准杨氏矩阵的数量。 也就是说，它是数字 1,2, …, 2n 被放置在一个2×n的矩形中并保证每行每列的数字升序排列的方案数。同样的，该式可由勾长公式的一个特殊情形推导得出。•Cn表示n个无标号物品的半序的个数。汗科尔矩阵超级卡特兰数（大施罗德数）递推式𝑆1=1∀𝑖≥2,𝑠𝑖=𝑆𝑖−1+∑𝑛−1𝑖=1𝑆𝑖𝑆𝑛−𝑖生成函数𝑆(𝑥)=𝑥𝑆(𝑥)+𝑆2(𝑥)+𝑥解得𝑆(𝑥)=1−𝑥−√𝑥2−6𝑥+12化简求通向公式广义二项式通项公式𝑆𝑛=∑𝑛𝑖=1(𝑛+𝑖−12𝑖)𝐶𝑖一种方法接下来给出的一种方法,可以在𝑂(𝑛𝑘)的复杂度快速求出𝑘次多项式开方后前𝑛项的值设要开方的多项式为𝑃(𝑥),开方后的多项式为𝐹(𝑥).𝐹(𝑥)=𝑃(𝑥)12=∑∞𝑖=0𝑓𝑖𝑥𝑖两边求导,可得𝐹′(𝑥)=12𝑃(𝑥)−12𝑃′(𝑥)得𝐹(𝑥)𝑃′(𝑥)=2𝐹′(𝑥)𝑃(𝑥)对比每一项系数,不难得到𝑘+1项的递推式.递推式(𝑛+1)𝑓𝑛+1=(6𝑛−3)𝑓𝑛−(𝑛−2)𝑓𝑛−1不过要注意这个递推公式除了第一项其他的项都是超级卡特兰数的12组合意义•𝑛+1边形的任意剖分方案数。例题链接 还是考虑枚举一条多边形上的边,那么有可能这条边仍然与另一个点拉成一个三角形,也有可能这条边上没有,那么把这两种加起来就是定义的递推式•括号序列,每个位置可能左括号,右括号和0.括号对数与0的个数之和为𝑛−1, 问合法的括号序列数. 同样枚举第一个是左括号还是0. 值得一提的是,可以看成先插括号再插0,那么枚举括号对数i,0有𝑛−𝑖−1个,需要放入2𝑖+1个位置中,那么不难得到上面通过广义二项式推出来的式子.•从(0,0)到(𝑛−1,𝑛−1),每次能往右,往上,往右上走,求不超过𝑦=𝑥这条直线的方案数. 枚举第一次是走右上还是走右. 同样使用容斥思想,把答案转化为从(0,0)到(𝑛−1,𝑛−1)减去(-1,1)到(𝑛−1,𝑛−1). 那么从(0,0)到(𝑛,𝑚)的路径条数怎么求呢.可以考虑枚举往右上的次数,然后还是考虑先走右和上,然后再把走右上的插入即可.